Lógica - Conjunto e Intervalos A lógica matemática analisa determinada proposição buscando identificar se representa uma afirmação verdadeira ou falsa. A princípio, a lógica era ligada à filosofia, tendo sido iniciada por Aristóteles (384-322 a.C.) que se baseava na teoria do silogismo, ou seja, em argumentações válidas. A lógica só passou a ser uma [...]
Introdução - As Funções Produto Cartesiano Chamamos de produto cartesiano, o produto A x B, sendo A e B conjuntos não vazios, tendo como resultado um conjunto de pares ordenados (x, y), onde x pertence a A e y pertence a B. Sendo assim, o produto cartesiano pode ser definido assim: A x B = {(x, y) | [...]
Função Composta e Função Inversa FUNÇÃO COMPOSTA Função composta é a composição de duas funções obtendo como resultado uma outra função. A função composta é a aplicação de um função numa outra função, combinando as variáveis. Definição Sejam as funções f: A → B e g: B → C, a composição dessas duas funções, [...]
Funções do 1º Grau Também denominada função afim ou função polinomial do primeiro grau, a função de primeiro grau é aquela que apresenta a forma f(x) = ax + b (ou y = ax + b), em que a e b representam números reais e a ≠ 0. As funções desse tipo são assim denominadas porque o [...]
Função Modular A função modular é uma função em que em seus elementos são aplicados o módulo na sua lei de formação. O módulo ou valor absoluto, que é representado por duas barras verticais |a|, é um número real a, em que nesse número é desconsiderado o seu sinal. Exemplo: |2| = 2 [...]
Função do 2º Grau Este tipo de função é encontrada em diversas aplicações, como por exemplo, na equação que descreve o movimento de queda livre, o lançamento de um projétil e o Índice de Massa Corpórea (IMC). Ela é encontrada também em algumas aplicações da engenharia civil, na economia, entre outras áreas de estudo. [...]
Potências, Raízes e Função Exponencial POTENCIAÇÃO A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes. Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação: Sendo a ≠ 0, [...]
Equações e Inequações Exponenciais EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Para ser considerada equação, uma expressão precisa ter pelo menos uma incógnita, que é um número desconhecido representado por uma letra, e uma relação de igualdade. Dessa maneira, as equações exponenciais são aquelas que possuem pelos menos uma incógnita no expoente e bases positivas diferentes de 1. Assim, [...]
Logaritmo Logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1. Desta forma, o logaritmo é a uma operação na qual queremos descobrir o [...]
Função Logarítmica - Equações e Inequações Logarítmicas Função Logarítmica A função logarítmica de base a é definida como f (x) = loga x, com a real, positivo e a ≠ 1. A função inversa da função logarítmica é a função exponencial. O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para [...]
Progressão Aritmética - PA A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A.. Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o [...]
Progressão Geométrica - PG Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual. Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo: PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...) No [...]
Juros Simples e Juros Compostos Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante um período de tempo. O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada [...]
Ângulos Pontos, retas e planos Na geometria espacial, são conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto retas: letras minúsculas do nosso alfabeto planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço [...]
Polígonos Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta. A palavra "polígono" advém do grego e constitui a união de dois termos "poly" e "gon" que significa "muitos ângulos". Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, [...]
Triângulos e Pontos Notáveis Classificação dos Triângulos Triângulo é um polígono de três lados e três ângulos. Há sete tipos de triângulos e sua classificação depende da disposição dos ângulos podendo ser: isósceles, equilátero, escaleno, retângulo, obtuso, agudo ou equiângulo. Propriedades do Triângulo Os triângulos são compostos por três vértices A [...]
Quadriláteros Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Sendo assim, os quadriláteros herdam todas as características e propriedades dos polígonos, como o fato de possuírem apenas duas diagonais ou de a soma dos seus ângulos internos ser sempre igual a 360°. Elementos de um quadrilátero Lados: São os segmentos de reta que contornam o quadrilátero; Vértices: São os [...]
Ângulos na Circunferência Círculo e circunferência Círculo e circunferência são duas figuras geométricas muito parecidas, o que pode ocasionar dúvidas sobre as suas definições. Vamos à diferenciação: Definição de circunferência Uma circunferência é um conjunto de pontos pertencentes ao plano que, dado um ponto fixo C, possuem a mesma distância até o ponto [...]
Linhas Proporcionais - Congruência e Semelhança de Triângulos Congruência de Triângulos Temos que dois triângulos são congruentes: Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos. Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos. Casos de congruência: 1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos [...]
TRIÂNGULO RETÂNGULO Muito usado para diversos cálculos na matemática, como o cálculo de áreas, de volume e no cálculo algébrico, o triângulo retângulo tem sua área dada pela metade do produto dos menores lados. Além disso, existe uma relação entre os lados e ângulos do triângulo retângulo que são a base da trigonometria. Quando [...]
Potência de Um Ponto - Teorema de Pitot e Polígonos Potência de Ponto Em Geometria Plana, a potência de ponto E pode ser definida como o produto de todas as distâncias de E aos pontos de interseção de uma reta que passa por E com uma circunferência dada. Vamos considerar apenas dois casos possíveis: 1º Caso [...]
Área de Figuras Planas, Equivalência e Razão entre Áreas As áreas das figuras planas medem o tamanho da superfície da figura. Desse modo, podemos pensar que quanto maior a superfície da figura, maior será sua área. Geometria Plana e Espacial A Geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas. [...]
Ciclo Trigonométrico e Arcos Côngruos Círculo Trigonométrico O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas. Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical corresponde ao seno e o [...]
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo As razões (ou relações) trigonométricas estão relacionadas com os ângulos de um triângulo retângulo. As principais são: o seno, o cosseno e a tangente. As relações trigonométricas são resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, e por isso são chamadas de razões. [...]
Relações Fundamentais Relações fundamentais da trigonometria As duas relações fundamentais da trigonometria são usadas para relacionar as razões trigonométricas básicas. Sua demonstração é feita pelo ciclo trigonométrico. As relações fundamentais da trigonometria são igualdades por meio das quais é possível relacionar as razões trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente. São duas as relações [...]
Funções Trigonométricas As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico. As principais funções trigonométricas são: Função Seno Função Cosseno Função Tangente No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência. Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em [...]
Redução ao Primeiro Quadrante Quando estamos trabalhando com Trigonometria e deparamo-nos com um ângulo que não se encontra no primeiro quadrante, sempre podemos reduzi-lo de forma a encontrar o ângulo correspondente a esse que esteja justamente no 1° quadrante. Isso é possível graças à simetria presente no ciclo trigonométrico. Mas precisamos nos [...]
Operações Trigonométricas Transformações Trigonométricas As transformações trigonométricas são fórmulas ou métodos usados para calcular operações entre arcos feitas dentro de razões trigonométricas. É por meio de uma transformação trigonométrica que calculamos, por exemplo, o seno de 30° + 45°, e não apenas encontrando seus valores individuais e somando os resultados. Isso pode ser representado [...]
Funções Circulares Inversas Introdução Considerando a função y = f(x), é importante sabermos que é necessário que a função f seja bijetora para definir a função inversa, porém isso não ocorre nas funções trigonométricas, sendo assim necessário limitar os seus domínios. Essa limitação é feita facultativamente, onde a função f passa a [...]
Equações e Inequações Trigonométricas Introdução Uma equação é toda igualdade entre duas sentenças, de modo que se busca determinar o valor de uma (ou mais) incógnita através de operações entre os termos da equação. Equações trigonométricas Uma equação trigonométrica é aquela que envolve, pelo menos, uma razão trigonométrica. A incógnita é um arco (ângulo) a ser [...]
Matrizes Definição de matrizes Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com m e n ∈ N*), onde m é o número de linhas e n o número de colunas. Representação de matrizes Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são: Colchetes: [ ] Parênteses: ( ) Barras Simples: [...]
Determinantes O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é encontrado fazendo-se determinadas operações com os elementos que compõe a matriz. Indicamos o determinante de uma matriz A por det A. Podemos ainda, representar o determinante por duas barra entre os elementos da matriz. Determinantes de [...]
Métodos para a obtenção da Inversa A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas). Assim, para [...]
Sistemas Lineares - Regras de Cramer A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas [...]
Sistemas Lineares - Escalonamento Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer [...]
Discussão de Sistemas - Teorema de Rouché Capelli Discussão de um sistema linear utilizando-se o Teorema de Rouché-Capelli Seja o sistema linear S com m equações e n incógnitas. p representa a característica da matriz incompleta (M.I) q representa a característica da matriz completa (M.C) Considerando a condição acima, o Teorema de Rouché-Capelli garante [...]
Contagem - Princípios Multiplicativo e Aditivo Princípio Multiplicativo A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante em Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos). Os problemas de contagem fazem [...]
Fatorial, Permutações e Arranjos Simples Fatorial Fatorial é um número natural inteiro positivo, o qual é representado por n! O fatorial de um número é calculado pela multiplicação desse número por todos os seus antecessores até chegar ao número 1. Note que nesses produtos, o zero (0) é excluído. O fatorial é [...]
Combinações Simples e Permutações Circulares Combinações Simples Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será [...]
Permutações e Combinações com Repetições As permutações são casos isolados dos Arranjos Simples. Estes são agrupamentos ordenados de um conjunto A de elementos, de modo que os grupos possuem um número menor ou igual de elementos do que o conjunto A. O conjunto A = {X,Y,Z}, {X,Y} e {Y,X} é um arranjo [...]
Triângulo de Pascal e Binômio de Newton Triângulo de Pascal O triângulo de Pascal tem o objetivo de dispor os coeficientes binomiais, de modo que os coeficientes de mesmo numerador agrupem-se em uma mesma linha, e coeficientes de mesmo denominador agrupem-se na mesma coluna. O coeficiente binomial de dois números naturais [...]
Probabilidade de Laplace e Probabilidade Condicional História da Probabilidade O interesse do homem em estudar os fenômenos que envolviam determinadas possibilidades fez surgir a Probabilidade. Alguns indícios alegam que o surgimento da teoria das probabilidades teve início com os jogos de azar disseminados na Idade Média. Esse tipo de jogo é [...]
Teorema da Multiplicação Teorema da multiplicação de probabilidades ou a regra do e Para bem entender o teorema da multiplicação de probabilidades, ajuda pensar o teorema dividido em duas regras: a regra nº 1, para a multiplicação de eventos independentes e a regra nº 2, para a multiplicação de eventos dependentes. Vamos começar pela “regra [...]
Números Complexos Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária. Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R). O conjunto dos números complexos é indicado por C e definido pelas operações: Igualdade: (a, b) = (c, d) [...]
Plano de Argand gauss A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário. A este ponto P, correspondente [...]
Estatística Descritiva A estatística descritiva é um ramo da estatística no qual um conjunto de dados pode ser condensado e descrito, ou seja, sintetiza dados de forma direta, se preocupando menos com variações e intervalos de confiança dos dados. Usada para resumir, descrever e compreender os dados de uma distribuição usando medidas de tendência central, [...]
Medidas de Centralidade Medidas de Centralidade Medidas de centralidade são números reais utilizados para representar listas inteiras de dados. Em outras palavras, ao analisar uma grandeza, podemos colher dados numéricos a respeito dela e colocar em uma lista. Por motivos diversos, pode ser necessário representar toda essa lista com um valor único, que [...]
Polinômios - Definição, Operações e Identidade Os polinômios são expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras (partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão. Exemplos a) 3ab + 5 b) x3 + 4xy - 2x2y3 c) 25x2 - 9y2 Monômio, Binômino e Trinômio Os polinômios são [...]
Polinômios - Divisão, Teoremas Divisão de Polinômio A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio, iremos considerar a seguinte divisão: P(x) |G(x) R(x) D(x) Onde P(x) [...]
Equações Polinomiais e Reciprocas - Girard e Bolzano Equações Polinomiais Seja "p(x)" o polinômio dado por: p(x) = an . xn + an–1 . xn–1 + an–2 . xn–2 + . . . + a2 . x2 + a1 . x + a0. Os elementos ai são chamados de coeficientes. ( i = 0, 1, 2, . . . , [...]
Introdução ao Cálculo O agrupamento de termos com características semelhantes é uma definição para a palavra conjunto. Os conjuntos recebem nomes de acordo com a quantidade de elementos que podem vir a ser agrupados. Conjunto finito Esse tipo de conjunto representa uma quantidade limitada de elementos. Por exemplo, o conjunto dos [...]
Geometria de Posição e Poliedros Geometria de posição é a área da Matemática que estuda as posições relativas entre formas geométricas presentes no espaço. As principais noções que colocam esse estudo em movimento são as de forma, tamanho e posição. Essas noções são primitivas e, por isso, não possuem definição. De qualquer modo, a forma está ligada ao [...]
Prisma Os prismas são sólidos geométricos constituídos por: arestas, vértices, faces laterais, base superior e inferior. Para diferenciarmos um prisma de qualquer outro sólido geométrico basta verificarmos se o número de faces laterais é igual ao número de lados que constitui uma de suas bases. Acompanhe abaixo a representação de um prisma [...]
Pirâmide A pirâmide é um poliedro com uma base formada por um polígono e as faces formadas por triângulos, unidas em um vértice a uma certa altura. Definição Seja um plano α, um ponto V, de forma que V ∉ α, uma área poligonal S no plano α, chamamos de pirâmide a união dos segmentos de retas VP onde P [...]
Cilindros e Cones Um cilindro é um sólido geométrico tridimensional classificado como corpo redondo. Isso significa que existe a possibilidade desse objeto rolar, se for colocado sobre uma superfície plana levemente inclinada. Conceito e definição A definição formal do cilindro pode ser dada pela seguinte demonstração: considere um círculo c, de centro C e raio [...]
Esferas e Partes da Esfera A esfera é um sólido limitado pela superfície esférica. É definida como um conjunto de pontos que distam do centro a uma mesma medida. Superfície Esférica A esfera é uma figura tridimensional, e faz parte dos estudos da geometria espacial. É um tipo de figura [...]
Razões entre Áreas, Volumes e Troncos Figuras semelhantes são aquelas que possuem ângulos correspondentes semelhantes e lados correspondentes proporcionais. Essa proporção entre os lados e a semelhança entre as figuras garantem também a existência de uma propriedade envolvendo suas áreas. Para compreender melhor essa propriedade, é necessário relembrar o conceito de razão de [...]
Sólidos Inscritos e Circunscritos Polígonos inscritos são aqueles que estão no interior de uma circunferência, de modo que todos os seus vértices são pontos dela. Já os polígonos circunscritos estão no exterior de uma circunferência e apresentam todos os seus lados tangentes a ela. Observe as seguintes imagens: Veja que todos os vértices do hexágono acima também são [...]
Vetores no Plano e no Espaço Vamos conhecer uma importante ferramenta matemática que possibilita os cálculos com grandezas físicas vetoriais. Essa ferramenta recebe o nome de vetor e é caracterizada como um segmento de reta orientado. 1 – O Vetor Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. Observe que o [...]
Geometria Analítica Retas A Geometria Analítica estabelece conexões entre geometria e álgebra, de modo que os conceitos da geometria são analisados por meio de processos algébricos. Ela foi criada pelo matemático francês René Descartes e, por isso, também é chamada de geometria cartesiana. Todos os objetos, figuras e relações já obtidas na geometria euclidiana clássica [...]
Circunferência e Posições Relativas Quando uma reta e uma circunferência são definidas sobre um mesmo plano, podemos analisar as posições que cada uma ocupa em relação à outra. O conjunto dos resultados dessa análise é conhecido como posições relativas entre reta e circunferência. Cada uma dessas posições observadas está relacionada a uma quantidade de pontos partilhados ou não pelas figuras [...]
Cônicas As cônicas são figuras geométricas formadas pela interseção de um plano com um cone duplo de revolução. São elas: elipses, parábolas e hipérboles. Um sólido de revolução é obtido a partir da rotação de uma figura geométrica sobre um eixo de rotação. O cone de revolução é resultado do giro de um triângulo retângulo, tendo um de seus catetos como eixo, [...]